Définition des nombres complexes et propriétés immédiates

Les nombres complexes jouent un rôle très important en mathématiques. Connaître leur définition et leurs propriétés immédiates est indispensable pour tout mathématicien.

Définition de l’ensemble des nombres complexes ℂ

L’ensemble des nombres complexes que l’on note ℂ est l’ensemble des couples de nombres réels ℝ² (aussi noté ℝ×ℝ).

L’addition des nombres complexes

L’addition des nombres complexes est définie de la manière suivante :

Addition des nombres complexes

L’addition des nombres complexes est associative et possède un élément neutre. De plus, chaque nombre complexe possède un symétrique pour la loi \(+\).

  • Loi associative : ∀(z,z′,z′′)∈ℂ3   (z+z′)+z′′=z+(z′+z′′)
  • Élément neutre : ∀z∈ℂ   z+(0,0)=(0,0)+z=z
  • Symétrique : ∀z∈ℂ   ∃z′∈ℂ   |   z+z′=z′+z=(0,0)

Ainsi \((\mathbb{C},+)\), a une structure de groupe, et comme l’addition est en plus commutative sur ℂ, alors c’est un groupe abélien.

La multiplication des nombres complexes

La multiplication des nombres complexes est définie de la manière suivante :

Multiplication des nombres complexes

La loi de multiplication sur ℂ est associative et possède un élément neutre. De plus, tout élément non nul de \(\mathbb{C}\) possède un symétrique pour \(\times\).

  • Loi associative : ∀(z,z′,z′′)∈ℂ3   (z×z′)×z′′=z×(z′×z′′)
  • Élément neutre : ∀z∈ℂ   z×(1,0)=(1,0)×z=z
  • Symétrique : ∀z∈ℂ*   ∃z′∈ℂ*   |   z×z′=z′×z=(1,0)

La loi de multiplication sur les nombres complexes est de plus commutative, donc (ℂ*,×) est également un groupe abélien.

La loi de multiplication est distributive par rapport à l’addition dans les nombres complexes :

∀(z,z′,z′′)∈ℂ3   (z+z′)×z′′=z×z′′+z′×z′′

(ℂ,+,×) est un corps commutatif

(ℂ,+) et (ℂ*,×) étant deux groupes abéliens et la loi × étant distributive par rapport à la loi + sur ℂ, nous pouvons donc en conclure que (ℂ,+,×) est un corps commutatif.

Notation d’un nombre complexe

On note \(i\) le nombre complexe \((0,1)\). On remarque immédiatement que \(i^2=(-1,0)\). Grâce à ce nombre, un nombre complexe \(z=(x,y)\) peut alors s’écrire sous la forme \(z=x+iy\). Ainsi \(i^2=-1\).

Ainsi \((0,0)\) s’écrira plus simplement \(0\) et \((1,0)\) s’écrira quant à lui \(1\).

Pour tout nombre complexe \(z=x+iy\), \(x\) et \(y\) étant deux nombres réels :

  • \(x\) est appelé la partie réelle de \(z\) et peut s’écrire ℜ(z) ou Re(z)
  • \(y\) est appelé la partie imaginaire de \(z\) et peut s’écrire ℑ(z) ou Im(z)

Nombre réel et nombre imaginaire

Un nombre complexe \(z\) est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

En mathématiques, un nombre complexe \(z\) est dit imaginaire si et seulement si sa partie réelle est nulle. L’ensemble des nombres imaginaires est notée \(i\mathbb{R}\).

Expressions des symétriques

Soit \(z\) un nombre complexe et \((x,y)\) un couple de réels tels que \(z=x+iy\).

Alors le symétrique de z pour la loi de l’addition est \(-z=-x+i(-y)\) et son symétrique pour la loi de multiplication est (si z est non nul) :

Inverse d'un nombre complexe non nul
Inverse d’un nombre complexe non nul

Conjugué d’un nombre complexe

Soit \(z\) un nombre complexe tel que \(z=x+iy\) avec (x,y)∈ℝ². Alors on appelle en mathématiques le conjugué du nombre complexe z le nombre complexe écrit z tel que z=x-iy.

La conjugaison d’un nombre complexe est une fonction involutive, c’est-à-dire que :

La fonction de conjugaison d'un nombre complexe est involutive

Nous pouvons vérifier facilement les propriétés mathématiques suivantes :

Opérations sur les conjugués de nombres complexes
Opérations sur les conjugués de nombres complexes

On peut aussi exprimer la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe grâce à son conjugué :

Calcul des parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe grâce à son conjugué
Calcul des parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe grâce à son conjugué

Et de ces formulations, on en conclut les équivalences mathématiques suivantes :

Représentation géométrique d’un nombre complexe

En géométrie, un nombre complexe z = x + iy peut facilement être représenté par un point M d’abscisse x et d’ordonnée y dans un plan muni d’un repère orthonormé.

Représentation géométrique d'un nombre complexe dans un plan orthonormé
Représentation géométrique d’un nombre complexe dans un plan orthonormé

Dans ce cas, le nombre complexe z est appelé affixe du point M et réciproquement M est appelé image de z dans le plan complexe P.

\((O,\vec{u})\) et \((O,\vec{v})\) sont appelés respectivement axe des réels et axes des ordonnées.

D’autre part, si M est l’image du nombre complexe z et M’ l’image de son conjugué, alors M’ n’est autre que le symétrique du point M par rapport à l’axe des réels comme on peut le voir dans l’illustration suivante :

Représentation géométrique du conjugué d'un nombre complexe dans le plan complexe

Grâce à cette représentation géométrique des nombres complexes, il est facile de voir que la conjugaison d’un nombre complexe est bien une fonction mathématique involutive.

> Voir le cours de mathématiques suivant sur le module d’un nombre complexe, ses propriétés importantes et l’inégalité triangulaire

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Simon LEE
Simon LEEhttps://stileex.xyz
Titulaire d'un Master en Mathématiques fondamentales, entrepreneur dans les pays de l'Océan indien et en République tchèque, je préside aujourd'hui un groupe d'une dizaine de sociétés. Je partage mes connaissances, mes idées et mes pensées avec vous sur Stileex.