Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

Pour comprendre ce cours de mathématiques sur la forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul, vous avez besoin de connaître la définition des nombres complexes ainsi que celle du groupe \(\mathbb{U}\) des nombres complexes de module 1 (et ses propriétés immédiates).

Définition de la forme trigonométrique

Soit \(z\) un nombre complexe non nul. Le nombre complexe \(\frac{z}{|z|}\) appartient alors au groupe \(\mathbb{U}\).

Or d’après ce théorème mathématique sur les nombres complexes de module 1, il existe un nombre réel \(\theta\) tel que \(\frac{z}{|z|}=e^{i\theta}\).

Ainsi :

Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul
Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

C’est ce que nous appelons la forme trigonométrique du nombre complexe non nul \(z\).

Argument d’un nombre complexe non nul

Le nombre réel \(\theta\) est appelé un argument du nombre complexe \(z\).

L’ensemble des arguments de \(z\) est \(\{\theta+2k\pi , k\in\mathbb{Z}\}\)

On note \(\theta=\arg(z)\)

Propriétés immédiates des arguments des nombres complexes non nuls

Soient \(z\) et \(z^\prime\) deux nombres complexes non nuls.

Comme pour tous nombres réels \(\theta\) et \(\theta^\prime\) : \(e^{i\theta}e^{i\theta^\prime}=e^{i(\theta+\theta^\prime)}\)

On en déduit les propriétés mathématiques suivantes :

\(\arg(zz^\prime)=\arg(z)+\arg(z^\prime)\hspace{5mm}[2\pi]\)

\(\arg(\frac{z}{z^\prime})=\arg(z)-\arg(z^\prime)\hspace{5mm}[2\pi]\)

\(\arg(z^n)=n\arg(z)\hspace{5mm}[2\pi]\hspace{5mm}\) pour tout \(n\in\mathbb{Z}\)

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Simon LEE
Simon LEEhttps://stileex.xyz
Titulaire d'un Master en Mathématiques fondamentales, entrepreneur dans les pays de l'Océan indien et en République tchèque, je préside aujourd'hui un groupe d'une dizaine de sociétés. Je partage mes connaissances, mes idées et mes pensées avec vous sur Stileex.