Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

Pour comprendre ce cours de mathématiques sur la forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul, vous avez besoin de connaître la définition des nombres complexes ainsi que celle du groupe \(\mathbb{U}\) des nombres complexes de module 1 (et ses propriétés immédiates).

Définition de la forme trigonométrique

Soit \(z\) un nombre complexe non nul. Le nombre complexe \(\frac{z}{|z|}\) appartient alors au groupe \(\mathbb{U}\).

Or d’après ce théorème mathématique sur les nombres complexes de module 1, il existe un nombre réel \(\theta\) tel que \(\frac{z}{|z|}=e^{i\theta}\).

Ainsi :

Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul
Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

C’est ce que nous appelons la forme trigonométrique du nombre complexe non nul \(z\).

Argument d’un nombre complexe non nul

Le nombre réel \(\theta\) est appelé un argument du nombre complexe \(z\).

L’ensemble des arguments de \(z\) est \(\{\theta+2k\pi , k\in\mathbb{Z}\}\)

On note \(\theta=\arg(z)\)

Propriétés immédiates des arguments des nombres complexes non nuls

Soient \(z\) et \(z^\prime\) deux nombres complexes non nuls.

Comme pour tous nombres réels \(\theta\) et \(\theta^\prime\) : \(e^{i\theta}e^{i\theta^\prime}=e^{i(\theta+\theta^\prime)}\)

On en déduit les propriétés mathématiques suivantes :

\(\arg(zz^\prime)=\arg(z)+\arg(z^\prime)\hspace{5mm}[2\pi]\)

\(\arg(\frac{z}{z^\prime})=\arg(z)-\arg(z^\prime)\hspace{5mm}[2\pi]\)

\(\arg(z^n)=n\arg(z)\hspace{5mm}[2\pi]\hspace{5mm}\) pour tout \(n\in\mathbb{Z}\)

1 COMMENTAIRE

  1. Avatar Rakotomalala Freddy

    j’ apprécie bien vos enseignements, c’est bien, mais pour que nos articles soient pertinents, on ne doit pas négliger les styles de tutoriel, car les élèves et les visiteurs sont différents, ils n’ont pas la même capacité d’apprendre et de compréhension, :-)

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