Signification géométrique des fonctions cosinus et sinus

Les deux principales fonctions trigonométriques cosinus et sinus peuvent faire peur au premier abord, mais si on comprend à quoi elles correspondent géométriquement alors elles deviennent tout de suite plus facile à appréhender.

Soit \(a\) un nombre réel et \((O,\vec{i},\vec{j})\) un repère orthonormé. On note \(A\) le point tel que \(OA = 1\) et tel que l’angle \((\vec{i},\overrightarrow{OA})\) soit égal à \(a\).

Alors \(\cos(a)\) et \(\sin(a)\) ne sont rien d’autres que l’abscisse et l’ordonnée du point \(A\), en d’autres termes : \(\overrightarrow{OA} = \cos(a)\vec{i}+\sin(a)\vec{j}\)

Signification géométrique des fonctions cosinus et sinus

Formules de trigonométrie : addition

Les formules de trigonométrie pour l'addition
Les formules de trigonométrie pour l’addition

Démonstration :

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. Soit \((O,\vec{i},\vec{j})\) un repère orthonormé. On note \(A\) le point tel que \(OA=1\) et tel que l’angle \((\vec{i},\overrightarrow{OA}) = a\).

On note \(B\) le point tel que \(OB=1\) et tel que l’angle \((\vec{i},\overrightarrow{OB}) = a+b\).

Enfin on note \(A^\prime\) le point tel que \(OA^\prime = 1\) et tel que l’angle \((\vec{i},\overrightarrow{OA^\prime}) = a + \frac{\pi}{2}\).

On a donc :
\(\overrightarrow{OA} = \cos(a)\vec{i}+\sin(a)\vec{j}\)
\(\overrightarrow{OB} = \cos(a+b)\vec{i}+\sin(a+b)\vec{j}\)
\(\overrightarrow{OA^\prime} = \cos(a+\frac{\pi}{2})\vec{i}+\sin(a+\frac{\pi}{2})\vec{j}\)
\(\overrightarrow{OA^\prime} = -\sin(a)\vec{i}+\cos(a)\vec{j}\)

Or dans le repère orthonormé \((O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA^\prime})\) :
\(\overrightarrow{OB} = \cos(b)\overrightarrow{OA}+\sin(b)\overrightarrow{OA^\prime}\)

Donc :

Démonstration des formules de trigonométrie

Par unicité des coordonnées dans \((O,\vec{i},\vec{j})\), on obtient bien :
\(\cos(a+b) = \cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}\)
\(\sin(a+b) = \sin{a}\cos{b}+\cos{a}\sin{b}\)

En remplaçant \(b\) par \(-b\) et en considérant que :
\(\cos(-b) = \cos{b}\)
\(\sin(-b) = -\sin{b}\)

Ainsi on en déduit facilement que :
\(\cos(a-b) = \cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\)
\(\sin(a-b) = \sin{a}\cos{b}-\cos{a}\sin{b}\)

Ces formules d’addition de trigonométrie sont notamment utiles pour les démonstrations des propriétés de l’exponentielle complexe.

Formules de trigonométrie : duplication

En prenant \(b=a\), on obtient facilement les formules suivantes :

Formules de trigonométrie : duplication

Formules de trigonométrie : linéarisation

Grâce aux formules précédentes, on obtient :

Formules de trigonométrie : linéarisation

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