Les formules trigonométriques sont très régulièrement utilisées en mathématiques, il est important de les connaître (ou de pouvoir les retrouver rapidement avec quelques méthodes mnémotechniques), d’autant plus que le programme scolaire en France impose leur connaissance aux élèves de terminale et aux étudiants de fac et de classes prépa. En fait, il vous suffit de connaître quelques formules de trigonométrie dans les cas généraux pour pouvoir en déduire les autres facilement. Les démonstrations mathématiques de ces formules ne sont pas non plus très difficiles à comprendre, il faut juste bien les aborder.

Signification géométrique des fonctions cosinus et sinus

Les deux principales fonctions trigonométriques cosinus et sinus peuvent faire peur au premier abord, mais si on comprend à quoi elles correspondent géométriquement alors elles deviennent tout de suite plus faciles à appréhender.

Soit \(a\) un nombre réel et \((O,\vec{i},\vec{j})\) un repère orthonormé. On note \(A\) le point tel que \(OA = 1\) et tel que l’angle \((\vec{i},\overrightarrow{OA})\) soit égal à \(a\).

Alors \(\cos(a)\) et \(\sin(a)\) ne sont rien d’autres que l’abscisse et l’ordonnée du point \(A\), en d’autres termes : \(\overrightarrow{OA} = \cos(a)\vec{i}+\sin(a)\vec{j}\)

Signification géométrique des fonctions cosinus et sinus

Formules de trigonométrie : addition

Les formules de trigonométrie pour l'addition
Les formules de trigonométrie pour l’addition

Démonstration mathématique :

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. Soit \((O,\vec{i},\vec{j})\) un repère orthonormé. On note \(A\) le point tel que \(OA=1\) et tel que l’angle \((\vec{i},\overrightarrow{OA}) = a\).

On note \(B\) le point tel que \(OB=1\) et tel que l’angle \((\vec{i},\overrightarrow{OB}) = a+b\).

Enfin on note \(A^\prime\) le point tel que \(OA^\prime = 1\) et tel que l’angle \((\vec{i},\overrightarrow{OA^\prime}) = a + \frac{\pi}{2}\).

On a donc :
\(\overrightarrow{OA} = \cos(a)\vec{i}+\sin(a)\vec{j}\)
\(\overrightarrow{OB} = \cos(a+b)\vec{i}+\sin(a+b)\vec{j}\)
\(\overrightarrow{OA^\prime} = \cos(a+\frac{\pi}{2})\vec{i}+\sin(a+\frac{\pi}{2})\vec{j}\)
\(\overrightarrow{OA^\prime} = -\sin(a)\vec{i}+\cos(a)\vec{j}\)

Or dans le repère orthonormé \((O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA^\prime})\) :
\(\overrightarrow{OB} = \cos(b)\overrightarrow{OA}+\sin(b)\overrightarrow{OA^\prime}\)

Donc :

Démonstration des formules de trigonométrie

Par unicité des coordonnées dans \((O,\vec{i},\vec{j})\), on obtient bien :
\(\cos(a+b) = \cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}\)
\(\sin(a+b) = \sin{a}\cos{b}+\cos{a}\sin{b}\)

En remplaçant \(b\) par \(-b\) et en considérant que :
\(\cos(-b) = \cos{b}\)
\(\sin(-b) = -\sin{b}\)

Ainsi on en déduit facilement les formules mathématiques suivantes :
\(\cos(a-b) = \cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\)
\(\sin(a-b) = \sin{a}\cos{b}-\cos{a}\sin{b}\)

Ces formules d’addition de trigonométrie sont notamment utiles pour les démonstrations des propriétés mathématiques de l’exponentielle complexe.

Formules de trigonométrie : duplication

En prenant \(b=a\), on obtient facilement les formules mathématiques suivantes :

Formules de trigonométrie : duplication

Formules de trigonométrie : linéarisation

Grâce aux formules mathématiques précédentes, on obtient :

Formules de trigonométrie : linéarisation

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