Ce cours est la suite de Module d’un nombre complexe : définition et propriétés importantes. Parmi les nombres complexes, il existe un sous-ensemble remarquable : ceux dont le module vaut 1. Zoom sur le groupe \(\mathbb{U}\).

Définition du groupe \(\mathbb{U}\)

Notons \(\mathbb{U}\) l’ensemble des nombres complexes de module 1, en d’autres termes :

Groupe U des nombres complexes de module égal à 1

Munissons cet ensemble de la loi de multiplication que nous avons défini sur \(\mathbb{C}\). Cette loi dans \(\mathbb{U}\) vérifie les propriétés suivantes :

  • C’est une loi de composition interne : \(\forall(z,z^\prime)\in\mathbb{U}\), \(|zz^\prime|=|z||z^\prime|=1\), donc \(zz^\prime\in\mathbb{U}\) ;
  • Comme la loi \(\times\) est associative dans \(\mathbb{C}\), elle l’est aussi sur \(\mathbb{U}\) ;
  • L’élément neutre de cette loi, 1, appartient bien à \(\mathbb{U}\) ;
  • Comme tout élément \(z\) de \(\mathbb{U}\) est non nul, alors il possède bien un inverse dans \(\mathbb{C}\) qui vaut \(\frac{1}{z}\) et dont le module vaut bien 1, ainsi l’inverse de \(z\) appartient lui aussi à \(\mathbb{U}\).

\((\mathbb{U},\times)\) est donc un groupe, on dit que c’est un sous-groupe de \((\mathbb{C}^*,\times)\).

Le cercle trigonométrique

L’ensemble des points du plan complexe \((O,\vec{u},\vec{v})\) dont l’affixe appartient à \(\mathbb{U}\) est le cercle de centre \(O\) et de rayon 1. On appelle ce dernier le cercle trigonométrique.

Le cercle trigonométrique

Définition et propriétés de \(e^{i\theta}\)

Théorème :

Écriture trigonométrique d'un nombre appartenant au groupe U

Démonstration :

Soit \(\theta\in\mathbb{R}\) et \(z=\cos\theta+i\sin\theta\).
\(|z|=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1\) donc \(z\in\mathbb{U}\).

Réciproquement, soient \(z\in\mathbb{U}\) et \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) tels que \(z=x+iy\).
Donc \(x^2+y^2=1\), il existe alors \(\theta\in\mathbb{R}\) tel que \(x=\cos\theta\) et \(y=\sin\theta\), d’où \(z=\cos\theta+i\sin\theta\).

Attention : \(\theta\) dans l’écriture \(z=\cos\theta+i\sin\theta\) n’est pas unique. En effet tous les réels de l’ensemble \(\{\theta^\prime\in\mathbb{R} : \theta^\prime=\theta+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\}\) peuvent convenir.

Définition :

Pour tout réel \(\theta\), nous définissons la notation suivante : \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)

Exponentielle complexe d'un nombre complexe de module 1

Théorème :

Multiplication de deux exponentielles complexes de module 1

Démonstration :

Soit \((\theta,\theta^\prime)\in\mathbb{R}^2\)

Démonstration du théorème de la multiplication de l'exponentielle complexe

Or rappelez-vous les formules de trigonométrie de l’addition, et on obtient :

Démonstration du théorème de la multiplication de l'exponentielle complexe - deuxième partie

CQFD

Continuons d’explorer \(e^{i\theta}\) :

\(\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta\)
\(\overline{z}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\)
\(\overline{z}=e^{-i\theta}\)

Donc pour \(z=e^{i\theta}\in\mathbb{U}\) :

\(\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\overline{z}\)
C’est-à-dire que \(\frac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}\)

Ainsi on en déduit facilement que \(\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta^\prime}}=e^{i(\theta-\theta^\prime)}\)

Et enfin pour tout \(\theta\in\mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{Z}\) : \((e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\)

Formule de Moivre

De la dernière assertion, on en conclut la formule suivante, dite de Moivre :

Formule de Moivre

Formules d’Euler

Nous avons vu au précédemment que pour \(z=e^{i\theta}\), on a \(\overline{z}=e^{-i\theta}\).

On obtient donc les formules suivantes, dites d’Euler :

Les formules d'Euler

Exponentielle complexe

On définit l’exponentielle complexe comme étant la fonction de \(\mathbb{C}\) dans \(\mathbb{C}\) telle que pour \(z=x+iy\), avec \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) :

Exponentielle complexe

Donc \(e^z=e^x(\cos y+i\sin y)\)

Après quelques calculs simples, on obtient les formules suivantes :

Formules exponentielle complexe

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