La fonction logarithme népérien joue un rôle très important en mathématiques analytiques, notamment pour les calculs de primitives ou encore dans les calculs de complexité en algorithmie. Vous trouverez dans cet article sa définition (comment il a été construit) et les propriétés mathématiques à connaître obligatoirement.

Définition

Nous savons que toute fonction \(f\) continue sur un intervalle \(I\) admet une primitive \(F\) sur \(I\), et que toutes ses primitives diffèrent d’une constante, c’est-à-dire que toutes les primitives de \(f\) sur \(I\) sont de la forme \(x \mapsto F(x) + C\) où \(C\) est un réel.

La fonction mathématique \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est continue sur \(\mathbb{R}^+_*\), donc elle y admet des primitives.

Nous appelons logarithme népérien et nous notons \(x \mapsto \ln{x}\) la primitive de \(x \mapsto \frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^{+}_{*}\) qui s’annule en \(1\).

Courbe de la fonction logarithme népérien
Courbe de la fonction logarithme népérien

Propriétés immédiates

La fonction logarithme népérien satisfait à la propriété mathématique suivante :

\(\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{+2}_* \qquad \ln{(xy)} = \ln{x} + \ln{y}\)

Démonstration de cette propriété mathématique :

Soit \(y \in \mathbb{R}^+_*\), la fonction \(x \mapsto \ln{(yx)}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^+_*\) et de dérivée égale à \(x \mapsto \frac{1}{x}\).

Donc \(\ln{(yx)} = \ln{x} + C\) où \(C\) est une constante réelle. Or comme \(\ln{1} = 0\), alors \(\ln{y} = C\).

Nous pouvons en conclure que \(\ln{(yx)} = \ln{x} + \ln{y}\).

On a en particulier que pour \(x \in \mathbb{R}^+_*, \ln{x\frac{1}{x}} = \ln{x} + \ln{\frac{1}{x}}\), alors :

\(\forall x \in \mathbb{R}^+_* \qquad \ln{\frac{1}{x}} = -\ln{x}\)

On en déduit les deux autres propriétés mathématiques suivantes du logarithme népérien :

\(\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{+2}_* \qquad \ln{\frac{x}{y}} = \ln{x} – \ln{y}\)
\(\forall x \in \mathbb{R}^+_* \qquad \forall n \in \mathbb{Z} \qquad \ln{x^n} = n\ln{x}\)

Limites du logarithme népérien

\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln{x} = +\infty\)

Démonstration :

Comme la fonction logarithme népérien est strictement croissante, elle admet donc une limite (finie ou infinie) en \(+\infty\).

Or la suite \((\ln{2^n})_{n \in \mathbb{N}}\) tend vers \(+\infty\) car \(\ln{2^n} = n\ln{2}\), ce qui nous permet de conclure que \(\ln\) tend bien vers \(+\infty\) en \(+\infty\).

Comme pour \(x \in \mathbb{R}^+_* \quad \ln{\frac{1}{x}} = -\ln{x}\), on en conclut que :

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \ln{x} = -\infty\)

Inégalité du logarithme népérien

\(\forall x \in \mathbb{R}^+_* \qquad \ln{x} \leqslant x-1\)

Représentation graphique de l'inégalité du logarithme népérien
Représentation graphique de l’inégalité du logarithme népérien

Démonstration de cette inégalité mathématique :

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^+_*\) par \(x \mapsto x-1-\ln{x}\)

Cette fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}^+_*\) et sa dérivée est \(f^\prime(x) = 1-\frac{1}{x}\)

\(\left\{ \begin{array}{l} \mbox{Pour} \quad x > 1 \quad f^\prime(x) > 0 \\ \mbox{Pour} \quad x < 1 \quad f^\prime(x) < 0 \end{array} \right.\)

On en déduit que la fonction \(f\) atteint son minimum au point \(x=1\) or \(f(1) = 0\), d’où : \(x-1-\ln{x} \geqslant 0\), CQFD.

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