Ce cours sur le module d’un nombre complexe est la suite de celui sur la définition des nombres complexes et de leurs propriétés immédiates.

Définition du module d’un nombre complexe

Soit \(z \in \mathbb{C}\) et \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(z=x+iy\). On appelle module de \(z\) le réel positif noté \(|z|\) tel que :

Valeur du module d'un nombre complexe en fonction de sa partie réelle et de sa partie imaginaire

D’autre part, on peut remarquer que :


On conclut que :

Module d'un nombre complexe

Cette formule très pratique et synthétique permet de s’affranchir des parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe pour en calculer son module.

Signification du module dans le plan complexe

Soit un nombre complexe \(z\) et \(M\) son image dans le plan complexe \((O,\vec{u},\vec{v})\), alors le module de \(z\) est tout simplement la distance entre le point \(O\) et le point \(M\).

Le module d'un nombre complexe est la distance entre son image et l'origine du plan complexe

Soit \(M\) et \(A\) deux points du plan complexe \((O,\vec{u},\vec{v})\), d’affixes respectives \(z\) et \(a\). Alors \(|z-a|\) n’est autre que la distance entre le point M et le point A.

Cette notion de distance est importante et elle permet de définir facilement les cercles, les disques fermés et les disques ouverts :

  • Cercle de centre \(A\) et de rayon \(R \in \mathbb{R}_{+}\) : \(\{M \in P, |z-a| = R\}\)
  • Disque ouvert de centre \(A\) et de rayon \(R \in \mathbb{R}_{+}\) : \(\{M \in P, |z-a| < R\}\)
  • Disque fermé de centre \(A\) et de rayon \(R \in \mathbb{R}_{+}\) : \(\{M \in P, |z-a| \leqslant R\}\)

où \(z\) est l’affixe de \(M\) et \(a\) celui de \(A\).

Théorème \(|zz^\prime|\)

Module du produit d'un nombre complexe avec son conjugué

Démonstration :

Soit \((z,z^\prime) \in \mathbb{C}^2\), alors
\(|zz^\prime|^2 = (zz^\prime)(\overline{zz^\prime})\)
\(|zz^\prime|^2 = (zz^\prime)(\overline{z}\overline{z^\prime})\)
\(|zz^\prime|^2 = (z\overline{z})(z^\prime\overline{z^\prime})\)
\(|zz^\prime|^2 = |z|^2 |z^\prime|^2\)
\(|zz^\prime| = |z| |z^\prime|\)

Corollaires :

Propriétés du module des nombres complexes

Inégalité triangulaire

Inégalité triangulaire des nombres complexes

Démonstration :

\(|z+z^\prime|^2 = (z+z^\prime)(\overline{z+z^\prime})\)
\(|z+z^\prime|^2 = z\overline{z}+z\overline{z^\prime}+\overline{z}z^\prime+z^\prime\overline{z^\prime}\)
\(|z+z^\prime|^2 = |z|^2+2\Re(z\overline{z^\prime})+|z^\prime|^2\)

\((|z|+|z^\prime|)^2 = |z|^2+2|z||z^\prime|+|z^\prime|^2\)
\((|z|+|z^\prime|)^2 = |z|^2+2|z\overline{z^\prime}|+|z^\prime|^2\)

Or \(\Re{(z\overline{z^\prime})}\leqslant|z\overline{z^\prime}|\) car \(\Re{(a)}^2\leqslant\Re{(a)}^2+\Im{(a)}^2\) pour tout nombre complexe \(a\).

Donc \(|z+z^\prime|^2 \leqslant (|z|+|z^\prime|)^2\) CQFD

Cette inégalité triangulaire signifie tout simplement qu’il est toujours plus rapide d’aller directement du point A au point C, que d’aller du point A au point C en passant par le point B…

>Voir le cours suivant sur l’ensemble des nombres complexes de module égal à 1 : le groupe \(\mathbb{U}\)

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