L’utilisation des nombres complexes permet de faciliter de nombreux calculs trigonométriques. Vous trouverez dans cet article la liste des plus importantes opérations trigonométriques en utilisant les propriétés des nombres complexes.

Linéarisation d’expressions trigonométriques

Il est possible de linéariser des polynômes trigonométriques en utilisant les formules d’Euler, lesquelles je vous rappelle sont pour \(x\in\mathbb{R}\) :

Formules d'Euler
Formules d’Euler

Polynôme trigonométrique

Rappelons une définition : un polynôme trigonométrique est une combinaison linéaire de \(\cos^mx\sin^nx\) où \((m,n)\in\mathbb{N}^2\) et \(x\in\mathbb{R}\).

Exemple de linéarisation d’un polynôme trigonométrique

Linéarisation d'un polynôme trigonométrique
Linéarisation d’un polynôme trigonométrique

Factorisation d’une expression trigonométrique

De la même manière (même si cela est plus difficile), on peut factoriser une expression trigonométrique en utilisant les formules d’Euler.

Exemple :

Facturation d'une expression trigonométrique

Calcul de \(\cos nx\) et \(\sin nx\) en fonction de \(\cos x\) et \(\sin x\)

Rappelons la formule de Moivre :

Formule de Moivre

C’est en utilisant cette formule et en la développant que nous pouvons exprimer \(\cos nx\) et \(\sin nx\) en fonction de \(\cos x\) et \(\sin x\).

Exemple : calculons \(\cos 3x\) et \(\sin 3x\) en fonction de \(\cos x\) et \(\sin x\).

Calcul de cosinus 3x

Ce qui nous donne en identifiant parties réelle et imaginaire :

À noter que nous retrouvons bien le même résultat que celui du paragraphe précédent sur la factorisation d’une expression trigonométrique.

Calcul de sinus 3x

Calcul de \(\sum\limits^{n}_{k=0}\cos(a+kb)\) et de \(\sum\limits^{n}_{k=0}\sin(a+kb)\)

\(\sum\limits^{n}_{k=0}\cos(a+kb)\) et \(\sum\limits^{n}_{k=0}\sin(a+kb)\) sont respectivement les parties réelles et imaginaires de \(\sum\limits ^{n}_{k=0} e^{i( a+kb)}\) où \((a,b)\in\mathbb{R}^2\).

Si \(b\in 2\pi\mathbb{Z}\) alors :

Et donc :

Ce qui semble assez logique…

Si \(b\notin 2\pi\mathbb{Z}\) : \(\sum\limits^{n}_{k=0}e^{ikb}\) est la somme des \((n+1)\) premiers termes de la suite géométrique \((e^{ikb})_{k\in\mathbb{N}}\) de raison \(e^{ib}\).

Donc :

Donc :

On en conclut finalement que :

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